PrethodniSledeći
2434.

643.b

TEKST ZADATKA

Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla: 75∘ 75^\circ ;

REŠENJE ZADATKA

Ugao od 75∘ 75^\circ možemo zapisati kao zbir dva ugla čije trigonometrijske vrednosti poznajemo: 45∘ 45^\circ i 30∘. 30^\circ .

75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

Računamo sinus ugla koristeći formulu za sinus zbira: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

sin⁡75∘=22⋅32+22⋅12=6+24=2(3+1)4\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}

Računamo kosinus ugla koristeći formulu za kosinus zbira: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ

Zamenjujemo poznate vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

cos⁡75∘=22⋅32−22⋅12=6−24=2(3−1)4\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4}

Računamo tangens ugla koristeći formulu: tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ. \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg75∘=tg(45∘+30∘)=tg45∘+tg30∘1−tg45∘tg30∘\text{tg} 75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg} 45^\circ + \text{tg} 30^\circ}{1 - \text{tg} 45^\circ \text{tg} 30^\circ}

Zamenjujemo vrednosti i racionališemo izraz:

tg75∘=1+331−1⋅33=3+333−33=3+33−3⋅3+33+3=9+63+39−3=12+636=2+3\text{tg} 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}

Računamo kotangens ugla kao recipročnu vrednost tangensa ili koristeći formulu za kotangens zbira:

ctg75∘=1tg75∘=12+3⋅2−32−3=2−34−3=2−3\text{ctg} 75^\circ = \frac{1}{\text{tg} 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu