PrethodniSledeći
2432.

643.a

TEKST ZADATKA

Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla: 15∘. 15^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Ugao od 15∘ 15^\circ možemo predstaviti kao razliku dva poznata ugla čije trigonometrijske vrednosti znamo, na primer 45∘ 45^\circ i 30∘. 30^\circ .

15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

Računamo vrednost sinusa koristeći formulu za sinus razlike: sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32−22⋅12=6−24=2(3−1)4\begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4} \end{aligned}

Računamo vrednost kosinusa koristeći formulu za kosinus razlike: cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24=2(3+1)4\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} \end{aligned}

Računamo vrednost tangensa koristeći formulu: tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgαtgβ. \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg15∘=tg(45∘−30∘)=tg45∘−tg30∘1+tg45∘tg30∘=1−331+1⋅33=3−333+33=3−33+3\begin{aligned} \text{tg} 15^\circ &= \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \frac{\text{tg} 45^\circ - \text{tg} 30^\circ}{1 + \text{tg} 45^\circ \text{tg} 30^\circ} \\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{aligned}

Racionališemo dobijeni izraz za tangens i izvlačimo zajednički faktor.

tg15∘=3−33+3⋅3−33−3=9−63+39−3=12−636=6(2−3)6=2−3\begin{aligned} \text{tg} 15^\circ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \\ &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}

Računamo vrednost kotangensa koristeći formulu: ctg(α−β)=ctgαctgβ+1ctgβ−ctgα. \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + 1}{\text{ctg} \beta - \text{ctg} \alpha} .

ctg15∘=ctg(45∘−30∘)=ctg45∘ctg30∘+1ctg30∘−ctg45∘=1⋅3+13−1\begin{aligned} \text{ctg} 15^\circ &= \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \frac{\text{ctg} 45^\circ \text{ctg} 30^\circ + 1}{\text{ctg} 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ} \\ &= \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{aligned}

Racionališemo dobijeni izraz za kotangens i izvlačimo zajednički faktor.

ctg15∘=3+13−1⋅3+13+1=3+23+13−1=4+232=2(2+3)2=2+3\begin{aligned} \text{ctg} 15^\circ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \\ &= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu