Trigonometrijske funkcije ugla 15 stepeni

Ugao od $15^\circ$ možemo predstaviti kao razliku dva poznata ugla čije trigonometrijske vrednosti znamo, na primer $45^\circ$ i $30^\circ .$

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

Računamo vrednost sinusa koristeći formulu za sinus razlike: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .$

\begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4} \end{aligned}

Računamo vrednost kosinusa koristeći formulu za kosinus razlike: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} \end{aligned}

Računamo vrednost tangensa koristeći formulu: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .$

\begin{aligned} \text{tg} 15^\circ &= \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \frac{\text{tg} 45^\circ - \text{tg} 30^\circ}{1 + \text{tg} 45^\circ \text{tg} 30^\circ} \\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{aligned}

Racionališemo dobijeni izraz za tangens i izvlačimo zajednički faktor.

\begin{aligned} \text{tg} 15^\circ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \\ &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}

Računamo vrednost kotangensa koristeći formulu: $\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + 1}{\text{ctg} \beta - \text{ctg} \alpha} .$

\begin{aligned} \text{ctg} 15^\circ &= \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \frac{\text{ctg} 45^\circ \text{ctg} 30^\circ + 1}{\text{ctg} 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ} \\ &= \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{aligned}

Racionališemo dobijeni izraz za kotangens i izvlačimo zajednički faktor.

\begin{aligned} \text{ctg} 15^\circ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \\ &= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}

Započni učenje

Online časovi

643.a

Beleške