PrethodniSledeći
2433.

643.v

TEKST ZADATKA

Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla: 105∘. 105^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Ugao od 105∘ 105^\circ možemo predstaviti kao zbir dva ugla čije su vrednosti trigonometrijskih funkcija poznate (tablični uglovi):

105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

Računamo sinus ugla koristeći formulu za sinus zbira: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(105∘)=sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘=32⋅22+12⋅22=64+24=2(3+1)4\begin{aligned} \sin(105^\circ) &= \sin(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} \end{aligned}

Računamo kosinus ugla koristeći formulu za kosinus zbira: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡(105∘)=cos⁡(60∘+45∘)=cos⁡60∘cos⁡45∘−sin⁡60∘sin⁡45∘=12⋅22−32⋅22=24−64=2(1−3)4\begin{aligned} \cos(105^\circ) &= \cos(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})}{4} \end{aligned}

Računamo tangens ugla koristeći formulu za tangens zbira: tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ. \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg(105∘)=tg(60∘+45∘)=tg60∘+tg45∘1−tg60∘tg45∘=3+11−3⋅1=1+31−3⋅1+31+3=1+23+31−3=4+23−2=−(2+3)\begin{aligned} \text{tg}(105^\circ) &= \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \frac{\text{tg} 60^\circ + \text{tg} 45^\circ}{1 - \text{tg} 60^\circ \text{tg} 45^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} \\ &= -(2 + \sqrt{3}) \end{aligned}

Računamo kotangens ugla koristeći formulu za kotangens zbira: ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ. \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta} .

ctg(105∘)=ctg(60∘+45∘)=ctg60∘ctg45∘−1ctg60∘+ctg45∘=33⋅1−133+1=3−333+33=3−33+3⋅3−33−3=3−63+93−9=12−63−6=3−2\begin{aligned} \text{ctg}(105^\circ) &= \text{ctg}(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \frac{\text{ctg} 60^\circ \text{ctg} 45^\circ - 1}{\text{ctg} 60^\circ + \text{ctg} 45^\circ} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 - 1}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} - 3} \\ &= \frac{3 - 6\sqrt{3} + 9}{3 - 9} \\ &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{-6} \\ &= \sqrt{3} - 2 \end{aligned}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu