2431. Adicione formule | Balkan Tutor

Prvo ćemo ugao $\frac{7\pi}{12}$ predstaviti kao zbir dva poznata ugla čije trigonometrijske vrednosti znamo.

\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}

Računamo vrednost funkcije sinus koristeći adicionu formulu $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta :$

\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3})

Računamo vrednost funkcije kosinus koristeći adicionu formulu $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta :$

\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 - \sqrt{3})

Računamo vrednost funkcije tangens koristeći adicionu formulu $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} :$

\text{tg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{3}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo imenilac:

\text{tg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}

Računamo vrednost funkcije kotangens koristeći adicionu formulu $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta} :$

\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{ctg}\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 1}{\text{ctg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{3}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo imenilac:

\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-3}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}-3}{3+\sqrt{3}} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}-3-9+3\sqrt{3}}{9-3} = \frac{6\sqrt{3}-12}{6} = \sqrt{3} - 2

645.v