2431.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Primenom adicionih formula za zbir i razliku dva ugla, odrediti vrednost trigonometrijskih funkcija ugla: 7π12. \frac{7\pi}{12} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo ugao 7π12 \frac{7\pi}{12} predstaviti kao zbir dva poznata ugla čije trigonometrijske vrednosti znamo.

7π12=3π+4π12=3π12+4π12=π4+π3\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}

Računamo vrednost funkcije sinus koristeći adicionu formulu sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β: \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta :

sin⁡(7π12)=sin⁡(π4+π3)=sin⁡π4cos⁡π3+cos⁡π4sin⁡π3\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

sin⁡(7π12)=22⋅12+22⋅32=24+64=24(1+3)\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3})

Računamo vrednost funkcije kosinus koristeći adicionu formulu cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β: \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta :

cos⁡(7π12)=cos⁡(π4+π3)=cos⁡π4cos⁡π3−sin⁡π4sin⁡π3\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

cos⁡(7π12)=22⋅12−22⋅32=24−64=24(1−3)\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 - \sqrt{3})

Računamo vrednost funkcije tangens koristeći adicionu formulu tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ: \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} :

tg(7π12)=tg(π4+π3)=tgπ4+tgπ31−tgπ4tgπ3\text{tg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{3}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo imenilac:

tg(7π12)=1+31−3⋅1+31+3=1+23+31−3=4+23−2=−2−3\text{tg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}

Računamo vrednost funkcije kotangens koristeći adicionu formulu ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ: \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta} :

ctg(7π12)=ctg(π4+π3)=ctgπ4ctgπ3−1ctgπ4+ctgπ3\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{ctg}\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 1}{\text{ctg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{3}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo imenilac:

ctg(7π12)=1⋅33−11+33=3−333+33=3−33+3⋅3−33−3=33−3−9+339−3=63−126=3−2\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-3}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}-3}{3+\sqrt{3}} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}-3-9+3\sqrt{3}}{9-3} = \frac{6\sqrt{3}-12}{6} = \sqrt{3} - 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti