PrethodniSledeći
2429.

645.b

TEKST ZADATKA

Primenom adicionih formula za zbir i razliku dva ugla, odrediti vrednost trigonometrijskih funkcija ugla: 5π12. \frac{5\pi}{12} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo ugao 5π12 \frac{5\pi}{12} predstaviti kao zbir dva poznata ugla čije trigonometrijske vrednosti znamo.

5π12=3π+2π12=3π12+2π12=π4+π6\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}

Računamo vrednost funkcije sinus koristeći adicionu formulu sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(5π12)=sin⁡(π4+π6)=sin⁡π4cos⁡π6+cos⁡π4sin⁡π6\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}

Zamenjujemo poznate vrednosti i sređujemo izraz izvlačenjem zajedničkog faktora.

sin⁡(5π12)=22⋅32+22⋅12=6+24=2(3+1)4\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}

Računamo vrednost funkcije kosinus koristeći adicionu formulu cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡(5π12)=cos⁡(π4+π6)=cos⁡π4cos⁡π6−sin⁡π4sin⁡π6\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}

Zamenjujemo poznate vrednosti i sređujemo izraz.

cos⁡(5π12)=22⋅32−22⋅12=6−24=2(3−1)4\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4}

Računamo vrednost funkcije tangens koristeći adicionu formulu tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ. \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg(5π12)=tg(π4+π6)=tgπ4+tgπ61−tgπ4tgπ6\text{tg}\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\frac{\pi}{6}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{6}}

Zamenjujemo vrednosti tgπ4=1 \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 i tgπ6=33 \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} i racionališemo imenilac.

tg(5π12)=1+331−1⋅33=3+333−33=3+33−3⋅3+33+3=9+63+39−3=12+636=2+3\text{tg}\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}

Računamo vrednost funkcije kotangens koristeći adicionu formulu ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ. \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta} .

ctg(5π12)=ctg(π4+π6)=ctgπ4ctgπ6−1ctgπ4+ctgπ6\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\text{ctg}\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{6} - 1}{\text{ctg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{6}}

Zamenjujemo vrednosti ctgπ4=1 \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 i ctgπ6=3 \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} i racionališemo imenilac.

ctg(5π12)=1⋅3−11+3=3−13+1⋅3−13−1=3−23+13−1=4−232=2−3\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu