PrethodniSledeći
2430.

645.a

TEKST ZADATKA

Primenom adicionih formula za zbir i razliku dva ugla, odrediti vrednost trigonometrijskih funkcija ugla: π12. \frac{\pi}{12} .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da ugao π12 \frac{\pi}{12} možemo zapisati kao razliku dva poznata ugla čije vrednosti trigonometrijskih funkcija znamo.

π12=4π−3π12=4π12−3π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

Računamo vrednost funkcije sinus koristeći adicionu formulu sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(π12)=sin⁡(π3−π4)=sin⁡π3cos⁡π4−cos⁡π3sin⁡π4\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor.

sin⁡π12=32⋅22−12⋅22=6−24=2(3−1)4\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4}

Računamo vrednost funkcije kosinus koristeći adicionu formulu cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡(π12)=cos⁡(π3−π4)=cos⁡π3cos⁡π4+sin⁡π3sin⁡π4\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}

Zamenjujemo tablične vrednosti i izvlačimo zajednički faktor.

cos⁡π12=12⋅22+32⋅22=2+64=2(1+3)4\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4}

Računamo vrednost funkcije tangens koristeći adicionu formulu tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgαtgβ. \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg(π12)=tg(π3−π4)=tgπ3−tgπ41+tgπ3tgπ4\text{tg}\left(\frac{\pi}{12}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{3}\text{tg}\frac{\pi}{4}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo izraz.

tgπ12=3−11+3⋅1=3−13+1⋅3−13−1=3−23+13−1=4−232=2−3\text{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

Računamo vrednost funkcije kotangens koristeći adicionu formulu ctg(α−β)=ctgαctgβ+1ctgβ−ctgα. \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + 1}{\text{ctg} \beta - \text{ctg} \alpha} .

ctg(π12)=ctg(π3−π4)=ctgπ3ctgπ4+1ctgπ4−ctgπ3\text{ctg}\left(\frac{\pi}{12}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{ctg}\frac{\pi}{3}\text{ctg}\frac{\pi}{4} + 1}{\text{ctg}\frac{\pi}{4} - \text{ctg}\frac{\pi}{3}}

Zamenjujemo tablične vrednosti i racionališemo izraz.

ctgπ12=33⋅1+11−33=3+333−33=3+33−3⋅3+33+3=9+63+39−3=12+636=2+3\text{ctg}\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu