Sinus trostrukog ugla: uprosti (3 sin x − sin 3x)/4

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

\frac {3\sin{x}-\sin{3x}} 4

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus zbira dva ugla: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\frac {3\sin{x}-\sin{(2x+x)}} 4=\frac {3\sin{x}-\sin{2x}\cos{x}-\cos{2x}\sin{x}} 4

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

\frac {3\sin{x}-2\sin{x}\cos{x}\cos{x}-\cos{2x}\sin{x}} 4=\frac {3\sin{x}-2\sin{x}\cos^2{x}-\cos{2x}\sin{x}} 4

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\frac {3\sin{x}-2\sin{x}\cos^2{x}-(\cos^2{x}-\sin^2{x})\sin{x}} 4

Osloboditi se zagrada:

\frac {3\sin{x}-2\sin{x}\cos^2{x}-\cos^2{x}\sin{x}+\sin^2{x}\sin{x}} 4 = \frac {3\sin{x}-3\sin{x}\cos^2{x}+\sin^3{x}} 4

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

\frac {3\sin{x}(1-\cos^2{x})+\sin^3{x}} 4

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\frac {3\sin{x}\sin^2{x}+\sin^3{x}} 4=\frac {3\sin^3{x}+\sin^3{x}} 4=\frac {4\sin^3} 4

Skratiti zajedničke činioce:

\frac {\cancel{4}\sin^3x} {\cancel{4}}=\sin^3x

Adicione formule - dvostruki ugao 2