3486.

213.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj: 3+7−10 \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10} iracionalan.

REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo suprotno, da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak x, x , gde je x∈Q. x \in \mathbb{Q} .

x=3+7−10x = \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}

Prebacimo −10 -\sqrt{10} na levu stranu jednakosti kako bismo lakše kvadrirali izraz.

x+10=3+7x + \sqrt{10} = \sqrt{3} + \sqrt{7}

Kvadriramo obe strane jednakosti.

(x+10)2=(3+7)2(x + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na obe strane.

x2+2x10+10=3+23⋅7+7x^2 + 2x\sqrt{10} + 10 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 7} + 7

Sređujemo dobijeni izraz.

x2+2x10+10=10+221x^2 + 2x\sqrt{10} + 10 = 10 + 2\sqrt{21}

Skraćujemo 10 10 sa obe strane jednakosti.

x2+2x10=221x^2 + 2x\sqrt{10} = 2\sqrt{21}

Ponovo kvadriramo obe strane kako bismo eliminisali 21. \sqrt{21} .

(x2+2x10)2=(221)2(x^2 + 2x\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{21})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu i kvadriramo desnu stranu.

(x2)2+2⋅x2⋅2x10+(2x10)2=4⋅21(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2x\sqrt{10} + (2x\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 21

Sređujemo izraz.

x4+4x310+40x2=84x^4 + 4x^3\sqrt{10} + 40x^2 = 84

Grupisanjem članova izdvajamo sabirak koji sadrži 10 \sqrt{10} na jednu stranu.

4x310=84−x4−40x24x^3\sqrt{10} = 84 - x^4 - 40x^2

Proveravamo da li je x=0. x = 0 . Ako bi bilo x=0, x = 0 , imali bismo 3+7=10. \sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10} . Kvadriranjem ove jednakosti dobijamo 10+221=10, 10 + 2\sqrt{21} = 10 , odnosno 221=0, 2\sqrt{21} = 0 , što je netačno. Dakle, x≠0. x \neq 0 .

x≠0x \neq 0

Pošto je x≠0, x \neq 0 , možemo podeliti jednačinu sa 4x3 4x^3 i izraziti 10. \sqrt{10} .

10=84−x4−40x24x3\sqrt{10} = \frac{84 - x^4 - 40x^2}{4x^3}

Kako smo pretpostavili da je x x racionalan broj, izraz na desnoj strani jednakosti mora biti racionalan. Međutim, na levoj strani se nalazi 10 \sqrt{10} koji je iracionalan broj.

10∉Q,84−x4−40x24x3∈Q\sqrt{10} \notin \mathbb{Q}, \quad \frac{84 - x^4 - 40x^2}{4x^3} \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju (iracionalan broj jednak racionalnom). Prema tome, naša pretpostavka je pogrešna i polazni broj je iracionalan.

3+7−10∉Q\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10} \notin \mathbb{Q}