808. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Izračunati:

(1-i\sqrt3)^6(1+i)^{10}

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x_1$ i $y_1$ kompleksnog broja $1-i\sqrt3.$

x_1=1 \\ y_1=-\sqrt3

Odrediti moduo broja $1-i\sqrt3$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|1-i\sqrt3|=\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=2

Ugao $\varphi_1$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi_1} = |\frac{-\sqrt3}1|=\sqrt3 \implies \varphi_1=\frac{\pi}{3}

Pošto su $x>0$ i $y<0$ kompleksni broj $1-i\sqrt3$ se nalazi u četvrtom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(1-i\sqrt3)=\frac{5\pi}{3}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $1-i\sqrt3$ odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$

1-i\sqrt3=2\big(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3\big)

Na isti način dobija se trigonometrijski oblik kompleksnog broja $1+i.$

1+i=\sqrt2\big(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\big)

Uvrstiti trigonometrijske oblike kompleksnih brojeva u početni izraz.

\big(2(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3)\big)^6\big(\sqrt2\big(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4)\big)^{10}

Primeniti formulu za izračunavanje stepena kompleksnog broja: $\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))$

2^6\big(\cos(6\cdot\frac{5\pi}3)+i\sin(6\cdot\frac{5\pi}3)\big)\cdot(\sqrt2)^{10}\big(\cos(10\cdot\frac{\pi}4)+i\sin(10\cdot\frac{\pi}4)\big) \\ 64\big(\cos{10\pi}+i\sin{10\pi}\big)\cdot32\big(\cos\frac{5\pi}2+i\sin\frac{5\pi}2\big)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija.

64(1+i\cdot0)\cdot32(0+i\cdot1) \\ 64\cdot32i \\ 2048i

808.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik