807.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Ako su dati kompleksni brojevi z1=1−i,z_1=1-i, z2=−3+iz_2=-\sqrt3+i i z3=1+3i,z_3=1+\sqrt3i, odrediti:

z110z29⋅z35\frac{z_1^{10}}{z_2^9}\cdot z_3^5
REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy odrediti x1x_1 i y1.y_1.

x1=1y1=−1x_1=1 \\y_1=-1

Odrediti moduo broja z1z_1 po formuli ∣z∣=x2+y2.|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

∣z1∣=12+(−1)2=2|z_1|=\sqrt{1^2+(-1)^2}= \sqrt2

Ugao φ1\varphi_1 odrediti po formuli tg⁡φ=∣yx∣.\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.

tg⁡φ1=∣1−1∣=−1  ⟹  φ1=−π4\tg{\varphi_1} = |\frac1{-1}|=-1 \implies \varphi_1=-\frac{\pi}{4}

Pošto su x>0x>0 i y<0y<0 kompleksni broj zz se nalazi u četvrtom kvadrantu, pa je arg(z)=φ.\text{arg}(z)=\varphi.

arg(z)=−π4\text{arg}(z)=-\frac{\pi}{4}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja z1z_1 odrediti po formuli: z=∣z∣⋅eφ⋅i.z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.

z1=2 e−π4iz_1=\sqrt{2} \ e^{-\frac{\pi}{4}i}

Na isti način dobijaju se eksponencijalni oblici kompleksnih brojeva z2z_2 i z3.z_3.

z2=2 e5π6iz3=2 eπ3iz_2=2 \ e^{\frac{5\pi}{6}i} \\ z_3=2\ e^{\frac{\pi}{3}i}

Uvrstiti eksponencijalne oblike kompleksnih brojeva u izraz.

x=(2 e−π4i)10(2 e5π6i)9⋅(2 eπ3i)5x=\frac{(\sqrt{2} \ e^{-\frac{\pi}{4}i})^{10}}{(2 \ e^{\frac{5\pi}{6}i})^9}\cdot(2\ e^{\frac{\pi}{3}i})^5

Primeniti osnovnu osobinu stepena: (a⋅b)m=am⋅bm(a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m

x=(2)10 e10⋅(−π4i)29 e9⋅5π6i⋅25 e5⋅π3ix=(2)10 e−5π2i29 e15π2i⋅25 e5π3ix=\frac{(\sqrt{2})^{10} \ e^{10\cdot(-\frac{\pi}{4}i)}}{2^9 \ e^{9\cdot\frac{5\pi}{6}i}}\cdot2^5\ e^{5\cdot \frac{\pi}{3}i} \\ x=\frac{(\sqrt{2})^{10} \ e^{-\frac{5\pi}{2}i}}{2^9 \ e^{\frac{15\pi}{2}i}}\cdot2^5\ e^{\frac{5\pi}{3}i}

Primeniti formulu za stepen stepena: (am)n=am⋅n(a^m)^n=a^{m\cdot n}

x=((2)2)5 e−5π2i29 e15π2i⋅25 e5π3ix=25 e−5π2i29 e15π2i⋅25 e5π3ix=\frac{((\sqrt{2})^2)^5 \ e^{-\frac{5\pi}{2}i}}{2^9 \ e^{\frac{15\pi}{2}i}}\cdot2^5\ e^{\frac{5\pi}{3}i} \\ x=\frac{2^5 \ e^{-\frac{5\pi}{2}i}}{2^9 \ e^{\frac{15\pi}{2}i}}\cdot2^5\ e^{\frac{5\pi}{3}i}

Primeniti osnovne osobine stepena: aman=am−n\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} i am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}

x=25−9+5e−5π2i−15π2i+5π3ix=2e−506πix=2^{5-9+5}e^{-\frac{5\pi}{2}i-\frac{15\pi}2i+\frac{5\pi}3i} \\ x=2e^{-\frac{50}6\pi i }

Svesti uglove na prvi kvadrant.

x=2e−π3ix=2e^{-\frac{\pi}3 i }

Kako trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi: z=∣z∣⋅eφ⋅i,z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}, moguće je odrediti ugao i moduo dobijenog broja x.x.

φx=−π3∣x∣=2\varphi_x=-\frac{\pi}3 \\ |x|=2

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: z=∣z∣⋅(cos⁡φ+isin⁡φ).z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).

x=2(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))x=2\big(\cos(-\frac{\pi}3)+i\sin(-\frac{\pi}3)\big)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija.

x=2(12−32i)x=1−3ix=2\big(\frac12-\frac{\sqrt3}2i\big) \\ x=1-\sqrt3i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti