806. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Izračunati:

(1+i)^{97}

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y.$

x=1 \\ y=1

Odrediti moduo broja $z$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac11|=1 \implies \varphi=\frac{\pi}{4}

Pošto su $x>0$ i $y>0$ kompleksni broj $z$ se nalazi u prvom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(z)=\frac{\pi}{4}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$

z=\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.$

z=\sqrt{2} \ e^{\frac{\pi}{4}i}

Uvrstiti trigonometrijski oblik u početnu formulu.

\big(\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})\big)^{97}

Primeniti formulu za izračunavanje stepena kompleksnog broja: $\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))$

(\sqrt{2})^{97}\big(\cos{(97\cdot\frac{\pi}{4}})+i\sin(97\cdot{\frac{\pi}{4}})\big)

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

(\sqrt{2})^{96}\cdot\sqrt2\cdot\big(\cos\frac{97\pi}{4}+i\sin{\frac{97\pi}{4}}\big)

Primeniti formulu za stepen stepena: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

((\sqrt{2})^2)^{48}\cdot\sqrt2\cdot\big(\cos\frac{97\pi}{4}+i\sin{\frac{97\pi}{4}}\big) \\ 2^{48}\sqrt2\big(\cos\frac{97\pi}{4}+i\sin{\frac{97\pi}{4}}\big)

Svesti uglove na prvi kvadrant.

2^{48}\sqrt2\big(\cos(24\pi+\frac{\pi}{4})+i\sin(24\pi+{\frac{\pi}{4}})\big) \\ 2^{48}\sqrt2\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija.

2^{48}\sqrt2\big(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\big) \\ 2^{48}(1+i)

Rešenje za trigonometrijski oblik je:

2^{48}+2^{48}i

Uvrstiti eksponencijalni oblik u početnu formulu.

(\sqrt{2} \ e^{\frac{\pi}{4}i})^{97}

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $(a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m$

(\sqrt{2})^{97}\cdot \ (e^{\frac{\pi}{4}i})^{97}

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

(\sqrt{2})^{96}\cdot\sqrt2\cdot \ (e^{\frac{\pi}{4}i})^{97}

Primeniti formulu za stepen stepena: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

((\sqrt{2})^2)^{48}\cdot\sqrt2\cdot \ e^{97\cdot\frac{\pi}{4}i} \\ 2^{48}\sqrt2\ e^{\frac{97\pi}{4}i}

Svesti uglove na prvi kvadrant.

2^{48}\sqrt2\ e^{(24\pi+\frac{\pi}{4})i}

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

2^{48}\sqrt2\ e^{24\pi i}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i}

Uvrstiti vrednosti za $e.$

2^{48}\sqrt2\cdot 1\cdot \big(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\big) \\ 2^{48}(1+i)

Rešenje za eksponencijalni oblik je:

2^{48}+2^{48}i

806.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik