2942.

Trigonometrijske nejednačine

Prvo, određujemo domen nejednačine. Zbog imenioca i funkcije tangens, mora važiti:

Koristimo poznati trigonometrijski identitet koji povezuje kosinus i tangens:

Zamenjujemo ovaj identitet u početnu nejednačinu:

Množimo i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo formirali kvadratni trinom:

Uvodimo smenu $t = \text{tg } x$ kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu po $t :$

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $\sqrt{3} t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$ da bismo našli njene nule:

Računamo vrednosti za $t_1$ i $t_2 :$

Pošto je koeficijent uz $t^2$ pozitivan ($\sqrt{3} > 0$), kvadratni trinom je negativan između svojih nula:

Vraćamo smenu $t = \text{tg } x$ i dobijamo dvostruku nejednačinu:

Znamo da je funkcija tangens strogo rastuća na intervalu $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ i da uzima date vrednosti u sledećim tačkama:

Zato je rešenje na osnovnom intervalu:

S obzirom na to da je osnovni period funkcije tangens jednak $\pi ,$ dodajemo period $k\pi$ da bismo dobili konačno rešenje. Sva rešenja pripadaju domenu.