TEKST ZADATKA
Rešiti nejednačinu za x∈[0,2π):
cos2x>cosx
REŠENJE ZADATKA
Koristimo trigonometrijski identitet za kosinus dvostrukog ugla:
cos2x=2cos2x−1 Zamenjujemo ovaj identitet u polaznu nejednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu:
2cos2x−1>cosx⟹2cos2x−cosx−1>0 Uvodimo smenu t=cosx. Nejednačina postaje kvadratna:
2t2−t−1>0 Faktorišemo kvadratni trinom 2t2−t−1. Njegove nule su t1=1 i t2=−21, pa se nejednačina može zapisati u obliku proizvoda:
2(t−1)(t+21)>0⟹(t−1)(2t+1)>0 Pravimo tabelu znakova za faktore 2t+1 i t−1 kako bismo odredili intervale u kojima je proizvod pozitivan:
t∈(−∞,−1/2) t∈(−1/2,1) t∈(1,+∞) (2t+1)(t−1) Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je:
t∈(−∞,−21)∪(1,+∞) Vraćamo smenu t=cosx. Dobijamo dve odvojene nejednačine:
cosx<−21ilicosx>1 Znamo da je vrednost kosinusa uvek u intervalu [−1,1], pa druga nejednačina nema rešenja:
cosx>1⟹x∈∅ Rešavamo preostalu nejednačinu na trigonometrijskoj kružnici:
cosx<−21 Kosinus je jednak −21 za uglove:
x1=32π,x2=34π Sa trigonometrijske kružnice vidimo da je cosx<−21 za uglove koji se nalaze strogo između ove dve vrednosti. Uzimajući u obzir zadati domen x∈[0,2π), konačno rešenje je:
x∈(32π,34π)