2939.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡x+sin⁡3x≥0. \sin x + \sin 3x \ge 0.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2. \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} .

Primenom ove formule na levu stranu nejednačine dobijamo:

2sin⁡x+3x2cos⁡x−3x2≥02 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} \ge 0

Sređivanjem razlomaka u argumentima i korišćenjem parnosti kosinusa (cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x ) dobijamo:

2sin⁡(2x)cos⁡(x)≥02 \sin(2x) \cos(x) \ge 0

Sada primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x: \sin(2x) = 2 \sin x \cos x :

2(2sin⁡xcos⁡x)cos⁡x≥02 (2 \sin x \cos x) \cos x \ge 0

Množenjem odgovarajućih činilaca dobijamo:

4sin⁡xcos⁡2x≥04 \sin x \cos^2 x \ge 0

Deljenjem cele nejednačine sa 4, ona se svodi na:

sin⁡xcos⁡2x≥0\sin x \cos^2 x \ge 0

Kvadrat realnog broja je uvek nenegativan, pa važi cos⁡2x≥0 \cos^2 x \ge 0 za svako x. x . Proizvod će biti veći ili jednak nuli u dva slučaja: kada je cos⁡x=0 \cos x = 0 ili kada je sin⁡x≥0. \sin x \ge 0 .

Prvi slučaj je kada je cos⁡x=0. \cos x = 0 . Rešavanjem ove osnovne trigonometrijske jednačine dobijamo:

x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kada je sin⁡x≥0. \sin x \ge 0 . Rešenja ove nejednačine obuhvataju gornju polukružnicu trigonometrijskog kruga:

x∈[2kπ,π+2kπ],k∈Zx \in [2k\pi, \pi + 2k\pi], \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja. Primetimo da se rešenja oblika x=π2+2kπ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi već nalaze u intervalu [2kπ,π+2kπ], [2k\pi, \pi + 2k\pi] , dok rešenja oblika x=3π2+2kπ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi moramo dodati kao izolovane tačke.

Zapisujemo konačan skup rešenja:

x∈⋃k∈Z([2kπ,π+2kπ]∪{3π2+2kπ})x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( [2k\pi, \pi + 2k\pi] \cup \left\{ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right\} \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti