TEKST ZADATKA
Rešiti nejednačine: 1−sin2x≤cosx−sinx,x∈[0,2π]
REŠENJE ZADATKA
Zapišimo početnu nejednačinu:
1−sin2x≤cosx−sinx Koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin2x+cos2x i formulu za sinus dvostrukog ugla sin2x=2sinxcosx. Zamenom u nejednačinu dobijamo:
sin2x+cos2x−2sinxcosx≤cosx−sinx Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani nejednačine:
(cosx−sinx)2≤cosx−sinx Uvodimo smenu t=cosx−sinx. Nejednačina postaje:
Rešavamo kvadratnu nejednačinu po t:
t2−t≤0⟹t(t−1)≤0 Rešenje ove nejednačine je t∈[0,1], odnosno:
0≤cosx−sinx≤1 Ovu dvostruku nejednakost možemo zapisati kao sistem dve nejednačine:
{cosx−sinx≥0cosx−sinx≤1 Rešimo prvu nejednačinu: cosx−sinx≥0, odnosno cosx≥sinx. Na intervalu x∈[0,2π], kosinus je veći ili jednak sinusu na intervalima:
x∈[0,4π]∪[45π,2π] Rešimo drugu nejednačinu: cosx−sinx≤1. Pošto iz prve nejednačine znamo da je leva strana nenegativna, možemo kvadrirati obe strane:
(cosx−sinx)2≤12 Kvadriranjem i sređivanjem dobijamo:
cos2x−2sinxcosx+sin2x≤1 Primenom identiteta sin2x+cos2x=1 i 2sinxcosx=sin2x:
1−sin2x≤1⟹−sin2x≤0⟹sin2x≥0 Rešavamo nejednačinu sin2x≥0 za x∈[0,2π]. To znači da 2x∈[0,4π]. Sinus je nenegativan kada je argument u prvom ili drugom kvadrantu:
2x∈[0,π]∪[2π,3π]∪{4π} Deljenjem sa 2 dobijamo rešenje za x:
x∈[0,2π]∪[π,23π]∪{2π} Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:
x∈([0,4π]∪[45π,2π])∩([0,2π]∪[π,23π]∪{2π}) Određivanjem preseka ova dva skupa dobijamo konačno rešenje zadatka:
x∈[0,4π]∪[45π,23π]∪{2π}