2920.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡x−cos⁡x>0; \sin x - \cos x > 0;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo rešili ovu trigonometrijsku nejednačinu, transformisaćemo izraz na levoj strani koristeći adicionu formulu. Prvo množimo i delimo izraz sa 2. \sqrt{2} .

sin⁡x−cos⁡x=2(22sin⁡x−22cos⁡x)\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)

Znamo da je cos⁡π4=22 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} i sin⁡π4=22, \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} , pa možemo zameniti ove vrednosti u izraz.

2(sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4)\sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)

Primenom adicione formule za sinus razlike sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β, \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta , dobijamo:

2sin⁡(x−π4)\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)

Sada se početna nejednačina svodi na sledeći oblik:

2sin⁡(x−π4)>0\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0

Deljenjem sa pozitivnim brojem 2, \sqrt{2} , znak nejednakosti se ne menja:

sin⁡(x−π4)>0\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0

Funkcija sinus je pozitivna kada se njen argument nalazi u prvom i drugom kvadrantu, odnosno strogo između 0 0 i π \pi (uz dodatak perioda 2kπ 2k\pi ).

2kπ<x−π4<π+2kπ,k∈Z2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodavanjem π4 \frac{\pi}{4} svim delovima nejednakosti, rešavamo po x: x :

π4+2kπ<x<π+π4+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sređivanjem desne strane dobijamo konačno rešenje:

π4+2kπ<x<5π4+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešenje možemo zapisati i u obliku intervala:

x∈(π4+2kπ,5π4+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti