2885. Trigonometrijske jednačine

Koristimo trigonometrijski identitet za kosinus dvostrukog ugla: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ i zamenjujemo ga u početnu jednačinu.

\sin x = 1 - 2\sin^2 x

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $\sin x .$

2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \sin x .$

2t^2 + t - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = \frac{1}{2} .$

\sin x = \frac{1}{2}

Rešavamo prvu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -1 .$

\sin x = -1

Rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačan skup rešenja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2885.Trigonometrijske jednačine