2880.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 928-945): cos⁡x=cos⁡3x+2sin⁡2x. \cos x = \cos 3x + 2 \sin 2x .

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo sve članove sa kosinusom na levu stranu jednačine.

cos⁡x−cos⁡3x=2sin⁡2x\cos x - \cos 3x = 2 \sin 2x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2. \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .

−2sin⁡x+3x2sin⁡x−3x2=2sin⁡2x-2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x - 3x}{2} = 2 \sin 2x

Sređujemo izraze unutar sinusa. Kako je sinus neparna funkcija, važi sin⁡(−x)=−sin⁡x. \sin(-x) = -\sin x .

−2sin⁡(2x)sin⁡(−x)=2sin⁡2x  ⟹  2sin⁡2xsin⁡x=2sin⁡2x-2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin 2x \implies 2 \sin 2x \sin x = 2 \sin 2x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički činilac 2sin⁡2x 2 \sin 2x ispred zagrade.

2sin⁡2xsin⁡x−2sin⁡2x=0  ⟹  2sin⁡2x(sin⁡x−1)=02 \sin 2x \sin x - 2 \sin 2x = 0 \implies 2 \sin 2x (\sin x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

sin⁡2x=0∨sin⁡x−1=0\sin 2x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

sin⁡2x=0  ⟹  2x=kπ  ⟹  x=kπ2,k∈Z\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

sin⁡x=1  ⟹  x=π2+2mπ,m∈Z\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine već obuhvaćena rešenjima prve jednačine (za k=1+4m k = 1 + 4m ). Zato je konačno rešenje samo rešenje prve jednačine.

x=kπ2,k∈Zx = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti