TEKST ZADATKA
Rešiti jednačine (zadaci 928-945): sin ( π 4 + x ) − sin ( π 4 − x ) = 2 4 ( tg x 2 + ctg x 2 ) . \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \right) . sin ( 4 π + x ) − sin ( 4 π − x ) = 4 2 ( tg 2 x + ctg 2 x ) .
REŠENJE ZADATKA
Određujemo uslove definisanosti jednačine. Tangens i kotangens moraju biti definisani, što znači da imenioci ne smeju biti nula.
sin x 2 ≠ 0 i cos x 2 ≠ 0 ⟹ sin x ≠ 0 ⟹ x ≠ k π , k ∈ Z \sin \frac{x}{2} \neq 0 \quad \text{i} \quad \cos \frac{x}{2} \neq 0 \implies \sin x \neq 0 \implies x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} sin 2 x = 0 i cos 2 x = 0 ⟹ sin x = 0 ⟹ x = kπ , k ∈ Z Transformišemo levu stranu jednačine koristeći formulu za razliku sinusa: sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 . \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} . sin α − sin β = 2 cos 2 α + β sin 2 α − β .
sin ( π 4 + x ) − sin ( π 4 − x ) = 2 cos π 4 sin x = 2 ⋅ 2 2 sin x = 2 sin x \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} \sin x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sqrt{2} \sin x sin ( 4 π + x ) − sin ( 4 π − x ) = 2 cos 4 π sin x = 2 ⋅ 2 2 sin x = 2 sin x Transformišemo izraz u zagradi na desnoj strani jednačine izražavajući tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.
tg x 2 + ctg x 2 = sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2 = sin 2 x 2 + cos 2 x 2 sin x 2 cos x 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} + \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} tg 2 x + ctg 2 x = cos 2 x sin 2 x + sin 2 x cos 2 x = sin 2 x cos 2 x sin 2 2 x + cos 2 2 x Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 i formulu za sinus dvostrukog ugla sin x = 2 sin x 2 cos x 2 . \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} . sin x = 2 sin 2 x cos 2 x .
1 sin x 2 cos x 2 = 1 1 2 sin x = 2 sin x \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin x} = \frac{2}{\sin x} sin 2 x cos 2 x 1 = 2 1 sin x 1 = sin x 2 Zamenjujemo dobijene izraze za levu i desnu stranu nazad u početnu jednačinu.
2 sin x = 2 4 ⋅ 2 sin x \sqrt{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sin x} 2 sin x = 4 2 ⋅ sin x 2 Sređujemo desnu stranu jednačine.
2 sin x = 2 2 sin x \sqrt{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin x} 2 sin x = 2 sin x 2 Množimo jednačinu sa sin x 2 , \frac{\sin x}{\sqrt{2}} , 2 s i n x , što je dozvoljeno jer smo utvrdili da je sin x ≠ 0. \sin x \neq 0 . sin x = 0.
sin 2 x = 1 2 \sin^2 x = \frac{1}{2} sin 2 x = 2 1 Korenovanjem dobijamo dve moguće vrednosti za sinus.
sin x = ± 2 2 \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} sin x = ± 2 2 Zapisujemo konačna rešenja. Rešenja za sin x = 2 2 \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} sin x = 2 2 su x = π 4 + 2 k π x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi x = 4 π + 2 kπ i x = 3 π 4 + 2 k π , x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi , x = 4 3 π + 2 kπ , a za sin x = − 2 2 \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} sin x = − 2 2 su x = − π 4 + 2 k π x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi x = − 4 π + 2 kπ i x = − 3 π 4 + 2 k π . x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi . x = − 4 3 π + 2 kπ . Sva ova rešenja se mogu objediniti u jedan izraz.
x = π 4 + k π 2 , k ∈ Z x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} x = 4 π + 2 kπ , k ∈ Z