2811.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: cos⁡πx=32 \cos \pi x = \frac{\sqrt{3}}{2}

REŠENJE ZADATKA

Ovo je osnovna trigonometrijska jednačina oblika cos⁡t=a, \cos t = a , gde je t=πx t = \pi x i a=32. a = \frac{\sqrt{3}}{2} . Pošto je ∣32∣≤1, |\frac{\sqrt{3}}{2}| \le 1 , jednačina ima rešenja.

Koristimo opštu formulu za rešenje jednačine cos⁡t=a: \cos t = a :

t=±arccos⁡a+2kπ,k∈Zt = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Zamenjujemo vrednost a=32. a = \frac{\sqrt{3}}{2} . Znamo da je arccos⁡32=π6, \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} , pa dobijamo:

πx=±π6+2kπ,k∈Z\pi x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Da bismo izolovali x, x , celu jednačinu delimo sa π: \pi :

x=±16+2k,k∈Zx = \pm \frac{1}{6} + 2k, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati kao uniju dva skupa rešenja:

x1=16+2k,x2=−16+2k,k∈Zx_1 = \frac{1}{6} + 2k, \quad x_2 = -\frac{1}{6} + 2k, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti