2578.

733.a

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

1+cos⁡α1−cos⁡αtg2α2−cos⁡2α\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - \cos^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za polovinu ugla za funkciju tangens. Iz formule ∣tgα2∣=1−cos⁡α1+cos⁡α, \left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} , kvadriranjem dobijamo:

tg2α2=1−cos⁡α1+cos⁡α\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

Zamenjujemo dobijeni izraz za tg2α2 \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} u početni izraz:

1+cos⁡α1−cos⁡α⋅1−cos⁡α1+cos⁡α−cos⁡2α\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} - \cos^2 \alpha

Primećujemo da se razlomci mogu skratiti jer su recipročni, pod uslovom da su imenioci različiti od nule:

1−cos⁡2α1 - \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da uprostimo preostali izraz:

sin⁡2α\sin^2 \alpha