892.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡2x+cos⁡x+1<0\sin^2x+\cos x+1<0
REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: sin⁡2α+cos⁡2α=1,\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1, gde je sin⁡2α=1−cos⁡2α.\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha.

1−cos⁡2x+cos⁡x+1<0−cos⁡2x+cos⁡x+2<01-\cos^2x+\cos x+1<0 \\ -\cos^2x+\cos x+2<0

Pomnožiti jednačinu sa −1.-1. Pri množenju nejednačine negativnim brojem menja se smer znaka nejednakosti.

cos⁡2x−cos⁡x−2>0\cos^2x-\cos x-2>0

Uvesti smenu cos⁡x=t.\cos x=t.

t2−t−2>0t^2-t-2>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

t2−t−2=0t^2-t-2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−1b=-1 i c=−2c=-2

t1,2=1±(−1)2−4⋅1⋅(−2)2⋅1  ⟹  t1=2,t2=−1t_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}} {2\cdot1} \implies t_1=2, \quad t_2=-1

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

(t−2)(t+1)>0(t-2)(t+1)>0
t∈(−∞,−1)t\in(-\infty,-1)
t∈(−1,2)t\in(-1,2)
t∈(2,∞)t\in(2,\infty)
t−2t-2
−-
−-
++
t+1t+1
−-
++
++
(t−2)(t+1)(t-2)(t+1)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−∞,−1) ∪ (2,∞)t\in(-\infty,-1)\ \cup \ (2,\infty)

Vratiti cos⁡x\cos x umesto smene t:t:

cos⁡x∈(−∞,−1) ∪ (2,∞)\cos x\in(-\infty,-1)\ \cup \ (2,\infty)

Nejednačina nema rešenja, jer je kosinusna funkcija definisana jedino u intervalu (−1, 1). (-1,\ 1).

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti