Podeli

474.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\sin\frac x2=1-\cos{x}

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti sabirak kako bi se mogle primeniti formule za kosinus dvostrukog ugla:

2\sin\frac x2=1-\cos(2\cdot\frac x2)

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

2\sin\frac x2=1-\cos^2\frac x 2+\sin^2\frac x2

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

2\sin\frac x2=2\sin^2\frac x2

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\sin\frac x2=\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2-\cos^2\frac x 2+\sin^2\frac x2

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\sin^2\frac x2-2\sin\frac x2=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\sin\frac x2(\sin\frac x2-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

2\sin\frac x2=0\quad\lor\quad \sin\frac x2-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x2=k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pi+4k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x2=\frac {\pi} 2+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pi+4k\pi, 2k\pi\},\quad k\in \mathbb{Z}

474.Trigonometrijska jednačina