Podeli

475.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(2\sqrt2-2)\cos{x}=4\sin^2x+\sqrt2-4

REŠENJE ZADATKA

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

(2\sqrt2-2)\cos{x}=4(1-\cos^2x)+\sqrt2-4

Osloboditi se zagrada množenjem:

2\sqrt2\cos{x}-2\cos{x}=-4\cos^2x+\sqrt2

DODATNO OBJAŠNJENJE

(2\sqrt2-2)\cos{x}=4-4\cos^2x+\sqrt2-4

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

4\cos^2x+2\sqrt2\cos{x}-2\cos{x}-\sqrt2=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos{x}(2\cos{x}+\sqrt2)-2\cos{x}-\sqrt2=0

Prepoznati zajedničke činioce i ponovo ih izvući ispred zagrade:

(2\cos{x}-1)(2\cos{x}+\sqrt2)=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos{x}(2\cos{x}+\sqrt2)-(2\cos{x}+\sqrt2)=0

Jednačina ima dva rešenja:

2\cos{x}-1=0\quad\lor\quad 2\cos{x}+\sqrt2=0

Rešavanjem prve jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\pm\frac {\pi}3+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos{x}=1

\cos{x}=\frac 12

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se takođe dva rešenja:

x=\pm\frac {\pi} 4+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos{x}=-\sqrt2

\cos{x}=-\frac {\sqrt2} 2

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {\pi} 4+2k\pi, \pm\frac {\pi}3+2k\pi\},\quad k\in \mathbb{Z}

475.Trigonometrijska jednačina