442.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(1+tg⁡2x)(1+sin⁡2x)=1(1+\tg^2x)(1+\sin2x)=1
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}

(1+tg⁡2x)(1+2sin⁡xcos⁡x)=1(1+\tg^2x)(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: tg⁡α=sin⁡αcos⁡α \tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}

(1+sin⁡2xcos⁡2x)(1+2sin⁡xcos⁡x)=1(1+\frac {\sin^2x} {\cos^2x})(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Srediti izraz u zagradi:

sin⁡2x+cos⁡2xcos⁡2x⋅(1+2sin⁡xcos⁡x)=1\frac {\sin^2x+\cos^2x} {\cos^2x}\cdot(1+2\sin{x}\cos{x})=1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

1cos⁡2x⋅(1+2sin⁡xcos⁡x)=1\frac 1 {\cos^2x}\cdot(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Osloboditi se zagrade množenjem:

1+2sin⁡xcos⁡xcos⁡2x=1\frac {1+2\sin{x}\cos{x}} {\cos^2x}=1

Unakrsno pomnožiti izraz:

1+2sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x1+2\sin{x}\cos{x}=\cos^2x

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

1+2sin⁡xcos⁡x−cos⁡2x=01+2\sin{x}\cos{x}-\cos^2x=0

Iz osnovne relacije: sin⁡2α+cos⁡2α=1,\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1, izraziti: cos⁡2α=1−sin⁡2α \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha i zameniti u jednakost:

2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=02\sin{x}\cos{x}+\sin^2x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

sin⁡x(2cos⁡x+sin⁡x)=0\sin{x}(2\cos{x}+\sin{x})=0

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡x=0∨2cos⁡x+sin⁡x=0\sin{x}=0\quad \lor\quad 2\cos{x}+\sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=kπ,k∈Zx=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=−arctg⁡2+kπ,k∈Zx=-\arctg2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{kπ,−arctg⁡2+kπ},k∈Zx\in \{k\pi,-\arctg2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti