Podeli

441.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin^2x+\sin^22x=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

\sin^2x+4\sin^2{x}\cos^2{x}=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin^2x+(2\sin{x}\cos{x})^2=1

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\sin^2x+4\sin^2{x}(1-\sin^2{x})=1

Osloboditi se zagrade množenjem:

5\sin^2x-4\sin^4{x}=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin^2x+4\sin^2{x}-4\sin^4{x}=1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

5\sin^2x-4\sin^4{x}-1=0

Pomnožiti ceo izraz sa -1:

4\sin^4{x}-5\sin^2x+1=0

Uvesti smenu:

\sin^2x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t^2-5t+1=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=\frac 1 4\quad \lor\quad t_2=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {5 \pm \sqrt{25-16}} 8

t_{1,2}=\frac {5\pm3} 8

Zameniti smenu početnim izrazom:

\sin^2x=\frac 1 4\quad \lor\quad \sin^2x=1

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pm \frac {\pi} 6 +k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin{x}=\pm\frac 1 2

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin{x}=\pm1

Konačno rešenje:

x\in\{\pm \frac {\pi} 6 +k\pi, \frac {\pi} 2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

441.Trigonometrijska jednačina