Podeli

440.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

8\cos^2{x}+6\sin{x}-3=0

REŠENJE ZADATKA

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

8(1-\sin^2{x})+6\sin{x}-3=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

-8\sin^2{x}+6\sin{x}+5=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

8-8\sin^2{x}+6\sin{x}-3=0

Pomnožiti ceo izraz sa -1:

8\sin^2{x}-6\sin{x}-5=0

Uvesti smenu:

\sin{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

8t^2-6t-5=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-\frac 1 2\quad\lor \quad t_2=\frac 5 4

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {6 \pm \sqrt{36+160}} {16}

t_{1,2}=\frac {6\pm14} {16}

Zameniti smenu početnim izrazom:

\sin{x}=-\frac 1 2\quad\lor\quad \sin{x}=\frac 5 4

Kako je sinusna funkcija definisana samo u skupu $[-1,1] ,$ jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

\sin{x}=-\frac 1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} 6 +2k\pi \lor x=\frac {5\pi}6+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

440.Trigonometrijska jednačina