Podeli

433.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{3x}+2\cos{x}=0

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za kosinus zbira dva ugla:

\cos{(2x+x)}+2\cos{x}=0

Primeniti formulu za kosinus zbira dva ugla: $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}+2\cos{x}=0

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}+2\cos{x}=0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-2\sin^2{x}\cos{x}+2\cos{x}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-2\sin{x}\cos{x}\sin{x}+2\cos{x}=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

(2\cos^2{x}-1)\cos{x}-2\sin^2{x}\cos{x}+2\cos{x}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(\cos^2{x}-1+\cos^2x)\cos{x}-2\sin^2{x}\cos{x}+2\cos{x}=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

(2\cos^2{x}-1)\cos{x}-2(1-\cos^2{x})\cos{x}+2\cos{x}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

\cos{x}(2\cos^2{x}-1-2+2\cos^2{x}+2)=0

Srediti izraz u zagradi:

\cos{x}(4\cos^2{x}-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos{x}=0 \quad\lor\quad 4\cos^2{x}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {\pi} 3+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

4\cos^2x=1

\cos^2x=\frac 1 4

\cos{x}=\pm\frac 1 2

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {\pi} 3+k\pi, \frac {\pi} 2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

433.Trigonometrijska jednačina