Podeli

428.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\cos{2x}-3\cos{x}+2=0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

2(\cos^2x-\sin^2x)-3\cos{x}+2=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}:$

2(2\cos^2x-1)-3\cos{x}+2=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2(\cos^2x-1+\cos^2x)-3\cos{x}+2=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

4\cos^2x-2-3\cos{x}+2=0

Srediti izraz:

4\cos^2x-3\cos{x}=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos{x}(4\cos{x}-3)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos{x}=0\quad\lor\quad 4\cos{x}-3=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\arccos{\frac 3 4}

DODATNO OBJAŠNJENJE

4\cos{x}=-3

\cos{x}=\frac 3 4

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in \{\frac {\pi} 2+k\pi, \pm\arccos{\frac 3 4}\}, \quad k\in \mathbb{Z}

428.Trigonometrijska jednačina