Podeli

429.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\cos{\frac x 4}-\cos{\frac x 2}=1

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti umanjenik kako bi se mogla primeniti formula za kosinus dvostrukog ugla:

2\cos{(2\cdot\frac x 2)}-\cos{\frac x 2}=1

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

2(\cos^2\frac x 2-\sin^2\frac x 2)-\cos{\frac x 2}=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}:$

2(2\cos^2\frac x 2-1)-\cos{\frac x 2}=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

2(\cos^2\frac x 2-1+\cos^2\frac x 2)-\cos{\frac x 2}=1

Osloboditi se zagrade množenjem:

4\cos^2\frac x 2-2-\cos{\frac x 2}=1

Uvesti smenu:

\cos{\frac x 2}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t^2-t-2=1

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-\frac 3 4\quad \lor\quad t_2=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {1 \pm \sqrt{1+48}} 8

t_{1,2}=\frac {1\pm7} 8

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos{x}=-\frac 3 4 \quad\lor\quad \cos{x}=1

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pm\arccos{(-\frac 3 4)}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in \{\pm\arccos{(-\frac 3 4)}, 2k\pi\},\quad k\in \mathbb{Z}

429.Trigonometrijska jednačina