Podeli

430.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{\frac x 2}=1+\cos{x}

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za kosinus dvostrukog ugla:

\cos{\frac x 2}=1+\cos{(2\cdot\frac x 2)}

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\cos{\frac x 2}=1+\cos^2\frac x 2-\sin^2\frac x 2

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}:$

\cos{\frac x 2}=2\cos^2\frac x 2

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{\frac x 2}=1+\cos^2\frac x 2-1+\cos^2\frac x 2

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos^2\frac x 2-\cos{\frac x 2}=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos\frac x 2(2\cos{\frac x 2}-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos\frac x 2=0 \quad\lor\quad 2\cos{\frac x 2}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pi+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x 2=\frac {\pi} 2+k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {2\pi} 3+4k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x 2=\pm\frac {\pi} 3+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in \{\pi+2k\pi, \pm\frac {2\pi} 3+4k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

430.Trigonometrijska jednačina