Podeli

431.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1-2\sin{\frac x 6}=\cos{\frac x 3}

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za kosinus dvostrukog ugla:

1-2\sin{\frac x 6}=\cos{(2\cdot\frac x 6)}

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

1-2\sin{\frac x 6}=\cos^2\frac x 6-\sin^2\frac x 6

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\cos^2{x}=1-\sin^2{x}:$

1-2\sin{\frac x 6}=1-2\sin^2\frac x 6

DODATNO OBJAŠNJENJE

1-2\sin{\frac x 6}=1-\sin^2\frac x 6-\sin^2\frac x 6

Prebaciti sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\sin^2{\frac x 6}-2\sin{\frac x 6}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

1-2\sin{\frac x 6}-1+2\sin^2\frac x 6=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\sin{\frac x 6}(\sin{\frac x 6}-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

2\sin{\frac x 6}=0 \quad\lor\quad \sin{\frac x 6}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=6k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x 6=k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=3\pi+12k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin{\frac x 6}=1

\frac x 6=\frac {\pi} 2+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{3\pi+12k\pi, 6k\pi\},\quad k\in \mathbb{Z}

431.Trigonometrijska jednačina