Podeli

421.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}=\sqrt{\frac {1+\cos{x}} 2}

REŠENJE ZADATKA

Kvadratni koren daje samo nenegativne vrednosti zbog čega mora da važi:

\sin{x}\ge0

Kvadrirati obe strane jednačine.

\sin^2x=\frac {1+\cos{x}} 2

Pomnožiti obe strane sa $2.$

2\sin^2x=1+\cos{x}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}:$

2(1-\cos^2x)=1+\cos{x}

Osloboditi se zagrade množenjem:

2-2\cos^2x=1+\cos{x}

Sve članove prebaciti na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos^2x+\cos{x}-1=0

Uvesti smenu:

\cos{x}=t

Zameniti $\cos{x}$ promenljivom $t.$

2t^2+t-1=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-1 \lor t_2=\frac 1 2

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {-1 \pm \sqrt{1+8}} 4

t_{1,2}=\frac {-1\pm3} 4

Zameniti promenljivu $t$ početnim izrazom $\cos{x}$

\cos{x}=-1 \lor \cos{x}=\frac 1 2

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pi+2k\pi, k\in Z

DODATNO OBJAŠNJENJE

Provera:

\sin{(\pi+2k\pi)}=0

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 3+2k\pi \lor x=-\frac {\pi} 3+2k\pi, k\in Z

DODATNO OBJAŠNJENJE

Provera:

\sin{(\frac{\pi} 3+2k\pi)}=\frac {\sqrt3} 2

Provera (ne zadovoljava uslov $\sin{x}\ge0$ ):

\sin{ (-\frac {\pi} 3+2k\pi)}\mathrlap{\,/}{=}0

Konačno rešenje:

x \in \{ \pi+2k\pi, \frac {\pi} 3+2k\pi \}, \quad k\in \mathbb{Z}

421.Trigonometrijska jednačina