422.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡x=cos⁡3x,x∈[0,2π]\cos{x}=\cos{3x}, x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack
REŠENJE ZADATKA

Prebaciti sve članove jednačine na jednu stranu znaka jednakosti.

cos⁡x−cos⁡3x=0\cos{x}-\cos{3x}=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡2xsin⁡x=0-2\sin{2x}\sin{x}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od činilaca jednak nuli.

sin⁡2x=0∨sin⁡x=0\sin{2x}=0 \quad \lor \quad \sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

2x=0+kπ  ⟹  x=kπ22x=0+k\pi \implies x=\frac {k\pi} 2

Pošto x∈[0,2π],x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack, uzimaju se vrednosti za k=0,1,2,3,4,k=0,1,2,3,4, što daje rešenja:

x=0,π2,π,3π2,2πx=0, \frac {\pi} 2, \pi, \frac {3\pi} 2, 2\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=kπx=k\pi

Pošto x∈[0,2π],x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack, uzimaju se vrednosti za k=0,1,2,k=0,1,2, što daje rešenja:

x=0,π,2πx=0, \pi, 2\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{0,π2,π,3π2,2π}x \in \{0, \frac {\pi} 2, \pi, \frac {3\pi} 2, 2\pi \}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti