3930.

594.lj

TEKST ZADATKA

Koristeći razne metode rastaviti na činioce sledeće polinome.

x5−x3+27x2−27x^5 - x^3 + 27x^2 - 27
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rastavljanju ovog polinoma je grupisanje članova kako bismo uočili zajedničke faktore. Grupisaćemo prvi i drugi član, kao i treći i četvrti član.

(x5−x3)+(27x2−27)(x^5 - x^3) + (27x^2 - 27)

Sada iz prve zagrade izvlačimo zajednički faktor x3, x^3 , a iz druge zagrade zajednički faktor 27. 27 .

x3(x2−1)+27(x2−1)x^3(x^2 - 1) + 27(x^2 - 1)

Primećujemo da je sada zajednički faktor za oba sabirka izraz (x2−1), (x^2 - 1) , pa ga možemo izvući ispred zagrade.

(x2−1)(x3+27)(x^2 - 1)(x^3 + 27)

Dobijeni izraz se sastoji od razlike kvadrata x2−1 x^2 - 1 i zbira kubova x3+27. x^3 + 27 . Primenjujemo formule: a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) i a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2). a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) .

x2−1=(x−1)(x+1)x3+27=x3+33=(x+3)(x2−3x+9)\begin{aligned} x^2 - 1 &= (x - 1)(x + 1) \\ x^3 + 27 &= x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \end{aligned}

Kombinovanjem svih dobijenih činilaca, dobijamo konačan rastavljen oblik polinoma.

(x−1)(x+1)(x+3)(x2−3x+9)(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x^2 - 3x + 9)