2674.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakosti: sec⁡7∘(sin⁡47∘+sin⁡61∘−sin⁡11∘−sin⁡25∘)=1 \sec 7^\circ (\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ) = 1 ;

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Grupišemo članove u zagradi kako bismo primenili formule za transformaciju razlike sinusa u proizvod.

sec⁡7∘((sin⁡47∘−sin⁡11∘)+(sin⁡61∘−sin⁡25∘))\sec 7^\circ ((\sin 47^\circ - \sin 11^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 25^\circ))

Primenjujemo formulu sin⁡α−sin⁡β=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2 \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} na obe grupe.

sec⁡7∘(2sin⁡47∘−11∘2cos⁡47∘+11∘2+2sin⁡61∘−25∘2cos⁡61∘+25∘2)\sec 7^\circ \left( 2 \sin \frac{47^\circ - 11^\circ}{2} \cos \frac{47^\circ + 11^\circ}{2} + 2 \sin \frac{61^\circ - 25^\circ}{2} \cos \frac{61^\circ + 25^\circ}{2} \right)

Računamo vrednosti u argumentima trigonometrijskih funkcija.

sec⁡7∘(2sin⁡18∘cos⁡29∘+2sin⁡18∘cos⁡43∘)\sec 7^\circ (2 \sin 18^\circ \cos 29^\circ + 2 \sin 18^\circ \cos 43^\circ)

Izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡18∘ 2 \sin 18^\circ ispred zagrade.

sec⁡7∘⋅2sin⁡18∘(cos⁡29∘+cos⁡43∘)\sec 7^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ (\cos 29^\circ + \cos 43^\circ)

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} na izraz u zagradi.

sec⁡7∘⋅2sin⁡18∘(2cos⁡43∘+29∘2cos⁡43∘−29∘2)\sec 7^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \left( 2 \cos \frac{43^\circ + 29^\circ}{2} \cos \frac{43^\circ - 29^\circ}{2} \right)

Računamo vrednosti u argumentima.

sec⁡7∘⋅2sin⁡18∘⋅2cos⁡36∘cos⁡7∘\sec 7^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot 2 \cos 36^\circ \cos 7^\circ

Zapisujemo sekans preko kosinusa, sec⁡7∘=1cos⁡7∘, \sec 7^\circ = \frac{1}{\cos 7^\circ} , i množimo konstante.

1cos⁡7∘⋅4sin⁡18∘cos⁡36∘cos⁡7∘\frac{1}{\cos 7^\circ} \cdot 4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ

Skraćujemo cos⁡7∘. \cos 7^\circ .

4sin⁡18∘cos⁡36∘4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ

Da bismo uprostili izraz, množimo i delimo ga sa cos⁡18∘ \cos 18^\circ kako bismo iskoristili formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

2⋅(2sin⁡18∘cos⁡18∘)cos⁡36∘cos⁡18∘\frac{2 \cdot (2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na deo izraza u brojiocu.

2sin⁡36∘cos⁡36∘cos⁡18∘\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Ponovo primenjujemo istu formulu na brojilac.

sin⁡72∘cos⁡18∘\frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova sin⁡(90∘−α)=cos⁡α, \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha , pa je sin⁡72∘=cos⁡18∘. \sin 72^\circ = \cos 18^\circ .

cos⁡18∘cos⁡18∘\frac{\cos 18^\circ}{\cos 18^\circ}

Skraćivanjem razlomka dobijamo konačan rezultat, čime je jednakost dokazana.

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti