2657.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡(π6+α)+sin⁡(π6−α)=cos⁡α \sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \cos \alpha

REŠENJE ZADATKA

Za dokazivanje ovog identiteta koristićemo adicionu formulu za zbir sinusa dva ugla: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2. \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} . U našem slučaju, uzimamo da je:

x=π6+α,y=π6−αx = \frac{\pi}{6} + \alpha, \quad y = \frac{\pi}{6} - \alpha

Primenjujemo formulu na levu stranu identiteta:

sin⁡(π6+α)+sin⁡(π6−α)=2sin⁡(π6+α)+(π6−α)2cos⁡(π6+α)−(π6−α)2\sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = 2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze unutar argumenata funkcija sinus i kosinus. Prvo računamo zbir i razliku uglova u brojiocima:

π6+α+π6−α=2π6=π3(π6+α)−(π6−α)=π6+α−π6+α=2α\begin{aligned} \frac{\pi}{6} + \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha &= \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \\ \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) &= \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha = 2\alpha \end{aligned}

Sada te vrednosti vraćamo u početni izraz:

2sin⁡π32cos⁡2α2=2sin⁡π6cos⁡α2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha

Znamo da je vrednost sin⁡π6=12. \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} . Zamenom ove vrednosti dobijamo:

2⋅12⋅cos⁡α=1⋅cos⁡α=cos⁡α2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha

Dobijeni rezultat odgovara desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

cos⁡α=cos⁡α\cos \alpha = \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti