Podeli

283.
Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangente i jednačinu normale grafika funkcije $y=\arcsin{\frac{x-1}{2}}$ u tački preseka sa $x-osom$

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti tačku preseka sa $x-osom.$ To je tačka u kojoj je $y=0.$ Postaviti funkciju $y=\arcsin{\frac{x-1}{2}}$ jednaku nuli i rešiti jednačinu.

\arcsin{\frac{x-1}{2}}=0

Pošto je $\sin{0}=0$ napisati:

\frac{x-1}{2}=0

Izračunati x:

x-1=0\rArr x=1

Dakle, tačka preseka sa $x-osom$ je $(1, 0),$ što znači da će postojati jedna tangente, u tački $(1, 0).$

Izračunati prvi izvod funkcije $y$ po $x$ primenjujući pravilo za izvod složene funkcije:

y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{2})^2}}*(\frac{x-1}{2})'

Srediti izraz:

y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{2})^2}}*\frac{1}{2}

Izračunati vrednosti izvoda u tački $x=1$ kako bi se odredi0 koeficijent pravca tangente.

y'=\frac{1}{\sqrt{1-\cancel{(\frac{x-1}{2})^2}}}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: $y-y_0=y'(x_0)*(x-x_0)$

y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

DODATNO OBJAŠNJENJE

y-0=\frac{1}{2}(x-1)

Odrediti jednačinu normale po formuli: $y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}*(x-x_0)$

y=2-2x

DODATNO OBJAŠNJENJE

y-0=-\frac{1}{\frac{1}{2}}(x-1)

y=-2(x-1)

y=-2x+2

283.Tangenta i normala

283.
Tangenta i normala