285.

Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangente i jednačinu normale krive y=e1−x2y=e^{1-x^2} u tačkama preseka sa pravom y=1y=1

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno uzeti prirodni logaritam obe strane, kako bi određivanje jednačina bilo jednostavnije:

ln⁡1=ln⁡e1−x2\ln{1}=\ln{e^{1-x^2}}

Primenjuje se svojstvo logaritma ln⁡ab=bln⁡a\ln{a^b}=b\ln{a}

ln⁡1=(1−x2)ln⁡ee\ln{1}=(1-x^2)\ln_e{e}

Srediti izraz:

0=1−x20=1-x^2

Primeniti formulu za razliku kvadrata:

(1−x)(1+x)=0(1-x)(1+x)=0

Rešenja jednačine:

x1=1,x2=−1x_1=1, x_2=-1

Dakle, tačke preseka sa x−osomx-osom su (1,1),(−1,1),(1, 1), (-1, 1), što znači da će postojati dve tangente, jedna u tački (1,1),(1, 1), a druga u tački (−1,1).(-1, 1).

Prvi izvod funkcije yy po xx odrediti primenom formule za izvod složene funkcije:

y′=e1−x2(1−x2)′y'=e^{1-x^2}(1-x^2)'
y′=e1−x2⋅(−2x)=−2xe1−x2y'=e^{1-x^2}\cdot(-2x)=-2xe^{1-x^2}

Izračunati vrednost izvoda u tačkama x1=1,x2=−1x_1=1, x_2=-1 kako bi se odredili koeficijenti pravca tangenti.

y′(1)=−2e1−1=−2e0=−2y'(1)=-2e^{1-1}=-2e^0=-2
y′(−1)=2e0=2y'(-1)=2e^0=2

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: y−y0=y′(x0)∗(x−x0)y-y_0=y'(x_0)*(x-x_0)

Jednačina tangente u tački (1,1):(1, 1):

t1:y=−2x+3t_1:y=-2x+3
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina tangente u tački (−1,1):(-1, 1):

t2:y=2x+3t_2:y=2x+3
DODATNO OBJAŠNJENJE

Odrediti jednačinu normale po formuli: y−y0=−1y′(x0)∗(x−x0)y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}*(x-x_0)

Jednačina normale u tački (1,1)(1,1) je:

n1:y=12x+12n_1:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina normale u tački (−1,1)(-1,1) je:

n2:y=−12x+12n_2:y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti