Podeli

200.
Tablični limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {e^{x^2}-\cos{x}} {x^2}

REŠENJE ZADATKA

Transformisati izraz dodavanjem i oduzimanjem jedinice da bi izraz ostao matematički ekvivalentan. Cilj je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {e^x-1} x=1$

\lim_{{x} \to {0}} \frac {e^{x^2}-1+1-\cos{x}} {x^2}

Raščlaniti izraz:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {e^{x^2}-1} {x^2}+\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {x^2}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {0}}\bigg( \frac {e^{x^2}-1} {x^2}+\frac {1-\cos{x}} {x^2}\bigg)

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {e^x-1} x=1$

1+\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {x^2}

Primeniti formulu za sinus poluugla: $\sin{\frac {\alpha} 2}=\sqrt{\frac {1-\cos{\alpha}} 2}$

1+\lim_{{x} \to {0}} \frac {2\sin^2{\frac x 2}} {x^2}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin^2{\frac {x} 2}=\frac {1-\cos{x}} 2

2\sin^2{\frac {x} 2}=1-\cos{x}

Izvući konstantu ispred limesa:

1+2\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin^2{\frac x 2}} {x^2}

Raščlaniti izraz:

1+2*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {x}*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {x}

Prilagoditi imenioce. Cilj je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

1+2*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {x*\frac 2 2}*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {x*\frac 2 2}= 1+2*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {\frac x 2*2}*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {\frac x 2*2}

Izvući konstante ispred limesa:

1+2*\frac 1 2*\frac 1 2*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {\frac x 2}*\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {\frac x 2}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

1+\frac 1 2*1*1=\frac 3 2

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {0}} \frac {\sin{\frac x 2}} {\frac x 2}=1

200.Tablični limes

200.
Tablični limes