1215.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz u sledećem primeru (x,y,p,q>0, x, y, p, q > 0 , x≠y x \neq y ):

x−yx3/4+x1/2y1/4⋅x1/2y1/4+x1/4y1/2x1/2+y1/2⋅x1/4y1/4x1/2−2x1/4y1/4+y1/2\frac{x - y}{x^{3/4} + x^{1/2}y^{1/4}} \cdot \frac{x^{1/2}y^{1/4} + x^{1/4}y^{1/2}}{x^{1/2} + y^{1/2}} \cdot \frac{x^{1/4} y^{1/4}}{x^{1/2} - 2x^{1/4}y^{1/4} + y^{1/2}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo lakše uprostili izraz, uvodimo smenu a=x1/4 a = x^{1/4} i b=y1/4. b = y^{1/4} . Tada važi da je a2=x1/2, a^2 = x^{1/2} , a3=x3/4, a^3 = x^{3/4} , a4=x a^4 = x i analogno tome za promenljivu y. y . Zamenom u početni izraz dobijamo:

a4−b4a3+a2b⋅a2b+ab2a2+b2⋅aba2−2ab+b2\frac{a^4 - b^4}{a^3 + a^2b} \cdot \frac{a^2b + ab^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{ab}{a^2 - 2ab + b^2}

Faktorizujemo svaki razlomak pojedinačno. Počinjemo od prvog razlomka, gde u brojiocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata, a u imeniocu izvlačimo zajednički faktor a2. a^2 .

(a2−b2)(a2+b2)a2(a+b)=(a−b)(a+b)(a2+b2)a2(a+b)\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)} = \frac{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)}

Skraćivanjem zajedničkog člana (a+b) (a + b) u brojiocu i imeniocu, prvi razlomak postaje:

(a−b)(a2+b2)a2\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2}

Sada faktorizujemo drugi razlomak tako što iz brojioca izvlačimo zajednički faktor ab. ab .

ab(a+b)a2+b2\frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2}

U imeniocu trećeg razlomka prepoznajemo kvadrat binoma.

ab(a−b)2\frac{ab}{(a - b)^2}

Sada ponovo zapisujemo ceo izraz množeći dobijene uprošćene razlomke.

(a−b)(a2+b2)a2⋅ab(a+b)a2+b2⋅ab(a−b)2\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2} \cdot \frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2} \cdot \frac{ab}{(a - b)^2}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom. Množenjem ab⋅ab ab \cdot ab u brojiocu dobijamo a2b2. a^2b^2 .

(a−b)(a2+b2)⋅a2b2(a+b)a2(a2+b2)(a−b)2\frac{(a - b)(a^2 + b^2) \cdot a^2b^2(a + b)}{a^2(a^2 + b^2)(a - b)^2}

Skraćujemo zajedničke činioce iz brojioca i imenioca: a2, a^2 , izraz a2+b2 a^2 + b^2 i izraz a−b. a - b .

b2(a+b)a−b\frac{b^2(a + b)}{a - b}

Vraćamo prvobitnu smenu a=x1/4 a = x^{1/4} i b=y1/4, b = y^{1/4} , pri čemu je b2=(y1/4)2=y1/2, b^2 = (y^{1/4})^2 = y^{1/2} , da bismo dobili konačno rešenje.

y1/2(x1/4+y1/4)x1/4−y1/4\frac{y^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})}{x^{1/4} - y^{1/4}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti