Podeli

83.
Složeni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

(\ln{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})})'

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti u formulu izvoda složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x),$ gde su: unutrašnja funkcija $g(x) = (\sqrt{x}-\sqrt{x-a})$ i spoljašnja funkcija $f(u) = \ln{u} ,$ pri čemu je $u=g(x).$

(\ln{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})})' = \frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})} \cdot (\sqrt{x}-\sqrt{x-a})'

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvod spoljašnje funkcije po $u$ je:

f'(u) = (\ln{u})'= \frac{1}{u}

Zameniti $u=\sqrt{x}-\sqrt{x-a}$

f'(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}

Izvod $(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})'$ računa se primenom formule za izvod razlike: $(f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x)$

(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})' = (\sqrt{x})' - (\sqrt{x-a})'

Izvod $(\sqrt{x})'$ računa se primenom tabličnog izvoda: $(x^n)' = nx^{n - 1}, n\isin \mathbb{N} \quad,$ a izvod $(\sqrt{x-a})'$ se računa primenom formule izvoda složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})' =\frac{1}{2\sqrt{x}}- \frac{1}{2\sqrt{x-a}}\cdot (x-a)'

Izračunati složeni izvod $(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})'$ vraća se u početni izvod:

\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})} \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}- \frac{1}{2\sqrt{x-a}})

Svesti razliku razlomaka na zajednički imenilac.

\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})} \cdot \frac{\sqrt{x-a} - \sqrt{x} }{2\sqrt{x} \cdot\sqrt{x-a}}

Izvući minus ispred izraza u brojiocu.

\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-a})} \cdot \frac{ -(\sqrt{x} - \sqrt{x-a}) }{2\sqrt{x (x-a)} })

Skratiti zajednički činilac.

-\frac{1}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}} \cdot \frac{ \cancel{\sqrt{x} - \sqrt{x-a}} }{2\sqrt{x (x-a)} }

Konačno rešenje je:

-\frac{1}{2\sqrt{x(x-a)}}

83.Složeni izvod

83.
Složeni izvod