3173.

60

TEKST ZADATKA

Svaki učenik jedne škole uči bar jedan od tri strana jezika (engleski, ruski, francuski) i to: 280 učenika uči engleski jezik, 230 francuski, 230 ruski, 120 engleski i francuski, 110 engleski i ruski, 80 uči francuski i ruski, a 50 učenika uči sva tri jezika. Koliko u toj školi ima učenika?

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo skupove učenika koji uče pojedine jezike sa E E (engleski), F F (francuski) i R R (ruski). Zapisujemo broj elemenata svakog skupa na osnovu teksta zadatka:

∣E∣=280∣F∣=230∣R∣=230\begin{aligned} |E| &= 280 \\ |F| &= 230 \\ |R| &= 230 \end{aligned}

Zapisujemo broj učenika koji uče po dva jezika (preseci po dva skupa):

∣E∩F∣=120∣E∩R∣=110∣F∩R∣=80\begin{aligned} |E \cap F| &= 120 \\ |E \cap R| &= 110 \\ |F \cap R| &= 80 \end{aligned}

Zapisujemo broj učenika koji uče sva tri jezika (presek sva tri skupa):

∣E∩F∩R∣=50|E \cap F \cap R| = 50

Pošto svaki učenik uči bar jedan jezik, ukupan broj učenika u školi jednak je broju elemenata unije ova tri skupa. Koristimo formulu uključenja-isključenja za tri skupa:

∣E∪F∪R∣=∣E∣+∣F∣+∣R∣−∣E∩F∣−∣E∩R∣−∣F∩R∣+∣E∩F∩R∣|E \cup F \cup R| = |E| + |F| + |R| - |E \cap F| - |E \cap R| - |F \cap R| + |E \cap F \cap R|

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu:

∣E∪F∪R∣=280+230+230−120−110−80+50|E \cup F \cup R| = 280 + 230 + 230 - 120 - 110 - 80 + 50

Računamo vrednost izraza:

∣E∪F∪R∣=740−310+50|E \cup F \cup R| = 740 - 310 + 50

Dobijamo konačan broj učenika:

∣E∪F∪R∣=480|E \cup F \cup R| = 480

U školi ima ukupno 480 učenika.