3179. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dati su skupovi: $E_1 = \{(x, y) \mid x, y \in N, 3x + 2y = 10\} ,$ $E_2 = \{(x, y) \mid x, y \in N, x + 2y = 5\} .$ Odrediti $E_1 \cap E_2 ,$ $E_1 \cup E_2 ,$ i $E_1 \times E_2 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti elemente skupa $E_1 .$ Kako $x, y \in \mathbb{N}$ (skup prirodnih brojeva $\{1, 2, 3, \dots\}$ ), izražavamo $2y$ preko $x$ da bismo ispitali moguće vrednosti koje zadovoljavaju jednačinu $3x + 2y = 10 .$

3x + 2y = 10 \implies 2y = 10 - 3x

Zamenjujemo prirodne brojeve za $x$ i proveravamo da li je dobijeno $y$ takođe prirodan broj.

\begin{aligned} x = 1 &\implies 2y = 10 - 3(1) = 7 \quad (y \notin \mathbb{N}) \\ x = 2 &\implies 2y = 10 - 3(2) = 4 \implies y = 2 \quad (y \in \mathbb{N}) \\ x = 3 &\implies 2y = 10 - 3(3) = 1 \quad (y \notin \mathbb{N}) \end{aligned}

Za $x \ge 4$ izraz $10 - 3x$ postaje negativan, pa nema više rešenja u skupu prirodnih brojeva. Dakle, skup $E_1$ ima samo jedan element (uređeni par).

E_1 = \{(2, 2)\}

Sada određujemo elemente skupa $E_2 .$ Izražavamo $x$ preko $y$ iz jednačine $x + 2y = 5 .$

x + 2y = 5 \implies x = 5 - 2y

Zamenjujemo prirodne brojeve za $y$ i proveravamo da li je $x$ prirodan broj.

\begin{aligned} y = 1 &\implies x = 5 - 2(1) = 3 \quad (x \in \mathbb{N}) \\ y = 2 &\implies x = 5 - 2(2) = 1 \quad (x \in \mathbb{N}) \\ y = 3 &\implies x = 5 - 2(3) = -1 \quad (x \notin \mathbb{N}) \end{aligned}

Za $y \ge 3$ izraz $5 - 2y$ je negativan, pa nema više rešenja. Skup $E_2$ se sastoji od dva uređena para.

E_2 = \{(3, 1), (1, 2)\}

Računamo presek skupova $E_1$ i $E_2 .$ Presek čine elementi koji se nalaze u oba skupa. Pošto nemaju zajedničkih elemenata, presek je prazan skup.

E_1 \cap E_2 = \emptyset

Računamo uniju skupova $E_1$ i $E_2 .$ Uniju čine svi elementi koji se nalaze u barem jednom od skupova.

E_1 \cup E_2 = \{(2, 2), (3, 1), (1, 2)\}

Računamo Dekartov proizvod $E_1 \times E_2 .$ To je skup svih uređenih parova gde je prvi element iz skupa $E_1 ,$ a drugi element iz skupa $E_2 .$

E_1 \times E_2 = \{ ((2, 2), (3, 1)), ((2, 2), (1, 2)) \}

65.b