3179.

65.b

TEKST ZADATKA

Dati su skupovi: E1={(x,y)∣x,y∈N,3x+2y=10}, E_1 = \{(x, y) \mid x, y \in N, 3x + 2y = 10\} , E2={(x,y)∣x,y∈N,x+2y=5}. E_2 = \{(x, y) \mid x, y \in N, x + 2y = 5\} . Odrediti E1∩E2, E_1 \cap E_2 , E1∪E2, E_1 \cup E_2 , i E1×E2. E_1 \times E_2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti elemente skupa E1. E_1 . Kako x,y∈N x, y \in \mathbb{N} (skup prirodnih brojeva {1,2,3,… } \{1, 2, 3, \dots\} ), izražavamo 2y 2y preko x x da bismo ispitali moguće vrednosti koje zadovoljavaju jednačinu 3x+2y=10. 3x + 2y = 10 .

3x+2y=10  ⟹  2y=10−3x3x + 2y = 10 \implies 2y = 10 - 3x

Zamenjujemo prirodne brojeve za x x i proveravamo da li je dobijeno y y takođe prirodan broj.

x=1  ⟹  2y=10−3(1)=7(y∉N)x=2  ⟹  2y=10−3(2)=4  ⟹  y=2(y∈N)x=3  ⟹  2y=10−3(3)=1(y∉N)\begin{aligned} x = 1 &\implies 2y = 10 - 3(1) = 7 \quad (y \notin \mathbb{N}) \\ x = 2 &\implies 2y = 10 - 3(2) = 4 \implies y = 2 \quad (y \in \mathbb{N}) \\ x = 3 &\implies 2y = 10 - 3(3) = 1 \quad (y \notin \mathbb{N}) \end{aligned}

Za x≥4 x \ge 4 izraz 10−3x 10 - 3x postaje negativan, pa nema više rešenja u skupu prirodnih brojeva. Dakle, skup E1 E_1 ima samo jedan element (uređeni par).

E1={(2,2)}E_1 = \{(2, 2)\}

Sada određujemo elemente skupa E2. E_2 . Izražavamo x x preko y y iz jednačine x+2y=5. x + 2y = 5 .

x+2y=5  ⟹  x=5−2yx + 2y = 5 \implies x = 5 - 2y

Zamenjujemo prirodne brojeve za y y i proveravamo da li je x x prirodan broj.

y=1  ⟹  x=5−2(1)=3(x∈N)y=2  ⟹  x=5−2(2)=1(x∈N)y=3  ⟹  x=5−2(3)=−1(x∉N)\begin{aligned} y = 1 &\implies x = 5 - 2(1) = 3 \quad (x \in \mathbb{N}) \\ y = 2 &\implies x = 5 - 2(2) = 1 \quad (x \in \mathbb{N}) \\ y = 3 &\implies x = 5 - 2(3) = -1 \quad (x \notin \mathbb{N}) \end{aligned}

Za y≥3 y \ge 3 izraz 5−2y 5 - 2y je negativan, pa nema više rešenja. Skup E2 E_2 se sastoji od dva uređena para.

E2={(3,1),(1,2)}E_2 = \{(3, 1), (1, 2)\}

Računamo presek skupova E1 E_1 i E2. E_2 . Presek čine elementi koji se nalaze u oba skupa. Pošto nemaju zajedničkih elemenata, presek je prazan skup.

E1∩E2=∅E_1 \cap E_2 = \emptyset

Računamo uniju skupova E1 E_1 i E2. E_2 . Uniju čine svi elementi koji se nalaze u barem jednom od skupova.

E1∪E2={(2,2),(3,1),(1,2)}E_1 \cup E_2 = \{(2, 2), (3, 1), (1, 2)\}

Računamo Dekartov proizvod E1×E2. E_1 \times E_2 . To je skup svih uređenih parova gde je prvi element iz skupa E1, E_1 , a drugi element iz skupa E2. E_2 .

E1×E2={((2,2),(3,1)),((2,2),(1,2))}E_1 \times E_2 = \{ ((2, 2), (3, 1)), ((2, 2), (1, 2)) \}