3171. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U prevodilačkoj agenciji rade 52 prevodioca. Među njima 20 govori ruski, 19 francuski, a 35 engleski. Dalje, poznato je da ruski i engleski govori 11 prevodilaca, francuski i ruski 7, a francuski i engleski njih 9. a) Koliko prevodilaca govori sva tri jezika?

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo skupove prevodilaca koji govore ruski, francuski i engleski jezik redom sa $R ,$ $F$ i $E .$ Broj elemenata skupa označavaćemo sa $n(...) .$ Prema tekstu zadatka, ukupan broj prevodilaca predstavlja uniju ova tri skupa:

n(R \cup F \cup E) = 52

Broj prevodilaca koji govore pojedinačne jezike je:

\begin{aligned} n(R) &= 20 \\ n(F) &= 19 \\ n(E) &= 35 \end{aligned}

Takođe su nam poznati preseci po dva skupa (prevodioci koji govore po dva jezika):

\begin{aligned} n(R \cap E) &= 11 \\ n(F \cap R) &= 7 \\ n(F \cap E) &= 9 \end{aligned}

Da bismo našli broj prevodilaca koji govore sva tri jezika, odnosno $n(R \cap F \cap E) ,$ koristićemo formulu uključenja-isključenja za tri skupa:

n(R \cup F \cup E) = n(R) + n(F) + n(E) - n(F \cap R) - n(R \cap E) - n(F \cap E) + n(R \cap F \cap E)

Zamenom poznatih vrednosti u formulu dobijamo:

52 = 20 + 19 + 35 - 7 - 11 - 9 + n(R \cap F \cap E)

Sređivanjem desne strane jednačine računamo zbir i razliku:

52 = 74 - 27 + n(R \cap F \cap E)

Oduzimanjem dobijamo:

52 = 47 + n(R \cap F \cap E)

Rešavanjem jednačine nalazimo broj prevodilaca koji govore sva tri jezika:

n(R \cap F \cap E) = 52 - 47 = 5

Dakle, sva tri jezika govori 5 prevodilaca.

59.a