3169. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U grupi turista svako od njih govori bar jedan od stranih jezika - engleski, francuski ili nemački, i to: 4 govore sva tri jezika, 5 engleski i nemački, 5 nemački i francuski, a samo dva jezika govore 3 turista. Samo francuski govore 3, nemački govori 8, a engleski govori 10 turista. Koliko njih: b) ne govori francuski?

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo skupove turista koji govore engleski, francuski i nemački sa $E ,$ $F$ i $G .$ Uvešćemo oznake za broj elemenata u svakom od disjunktnih delova Venovog dijagrama: $x_E ,$ $x_F ,$ $x_G$ - govore samo jedan jezik $x_{EF} ,$ $x_{EG} ,$ $x_{FG}$ - govore tačno dva jezika $x_{EFG}$ - govore sva tri jezika

Iz teksta zadatka direktno zapisujemo poznate vrednosti. Znamo da 4 turista govore sva tri jezika, a samo francuski govore 3 turista.

\begin{aligned} x_{EFG} &= 4 \\ x_F &= 3 \end{aligned}

Znamo da 5 turista govori engleski i nemački ( $E \cap G$ ), a 5 govori nemački i francuski ( $F \cap G$ ). Ovi skupovi obuhvataju i one koji govore sva tri jezika, pa računamo broj onih koji govore tačno ta dva jezika:

\begin{aligned} x_{EG} + x_{EFG} &= 5 \implies x_{EG} + 4 = 5 \implies x_{EG} = 1 \\ x_{FG} + x_{EFG} &= 5 \implies x_{FG} + 4 = 5 \implies x_{FG} = 1 \end{aligned}

Ukupan broj turista koji govore tačno dva jezika je 3. Koristeći prethodno dobijene vrednosti, računamo broj turista koji govore samo engleski i francuski ( $x_{EF}$ ):

\begin{aligned} x_{EF} + x_{EG} + x_{FG} &= 3 \\ x_{EF} + 1 + 1 &= 3 \\ x_{EF} &= 1 \end{aligned}

Ukupan broj turista koji govore nemački je 8. Ovaj skup čine oni koji govore samo nemački, kao i oni koji nemački govore u kombinaciji sa drugim jezicima. Računamo broj onih koji govore samo nemački ( $x_G$ ):

\begin{aligned} x_G + x_{EG} + x_{FG} + x_{EFG} &= 8 \\ x_G + 1 + 1 + 4 &= 8 \\ x_G + 6 &= 8 \\ x_G &= 2 \end{aligned}

Ukupan broj turista koji govore engleski je 10. Slično kao za nemački, računamo broj onih koji govore samo engleski ( $x_E$ ):

\begin{aligned} x_E + x_{EF} + x_{EG} + x_{EFG} &= 10 \\ x_E + 1 + 1 + 4 &= 10 \\ x_E + 6 &= 10 \\ x_E &= 4 \end{aligned}

Traži se broj turista koji ne govore francuski. To su oni turisti koji govore samo engleski, samo nemački, ili samo engleski i nemački. Računamo njihov zbir:

N = x_E + x_G + x_{EG} = 4 + 2 + 1 = 7

57.b