3164. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U jednom odeljenju svaki od učenika je pročitao bar jednu od knjiga $A ,$ $B$ ili $C .$ Sve tri knjige je pročitalo 3 učenika, knjige $B$ i $C$ 4 učenika, a knjige A i B 5 učenika. Samo dve knjige je pročitalo 4 učenika. Knjigu A je pročitalo 10, knjigu B je pročitalo 13, a samo jednu knjigu je pročitalo 16 učenika. Koliko je: a) učenika u tom odeljenju;

REŠENJE ZADATKA

Zadatak možemo detaljno rešiti korišćenjem Venovih dijagrama. Neka su A, B i C skupovi učenika koji su pročitali istoimene knjige.

Definišimo promenljive za broj učenika u svakom od disjunktnih delova Venovog dijagrama: - $x_{ABC} :$ pročitali sve tri knjige - $x_{AB}, x_{BC}, x_{AC} :$ pročitali tačno dve knjige - $x_A, x_B, x_C :$ pročitali tačno jednu knjigu

Iz teksta zadatka znamo da je sve tri knjige pročitalo 3 učenika:

x_{ABC} = 3

Knjige B i C su pročitala 4 učenika. To obuhvata one koji su pročitali samo B i C, kao i one koji su pročitali sve tri knjige:

x_{BC} + x_{ABC} = 4

Zamenom $x_{ABC} = 3$ računamo $x_{BC} :$

x_{BC} + 3 = 4 \implies x_{BC} = 1

Slično, knjige A i B je pročitalo 5 učenika:

x_{AB} + x_{ABC} = 5

Zamenom $x_{ABC} = 3$ računamo $x_{AB} :$

x_{AB} + 3 = 5 \implies x_{AB} = 2

Zadato je da je samo dve knjige pročitalo ukupno 4 učenika. To je zbir onih koji su pročitali tačno po dve knjige:

x_{AB} + x_{BC} + x_{AC} = 4

Zamenom poznatih vrednosti računamo $x_{AC} :$

2 + 1 + x_{AC} = 4 \implies x_{AC} = 1

Knjigu A je pročitalo 10 učenika. To obuhvata sve delove Venovog dijagrama koji pripadaju skupu A:

x_A + x_{AB} + x_{AC} + x_{ABC} = 10

Zamenom poznatih vrednosti računamo $x_A$ (broj učenika koji su pročitali samo knjigu A):

x_A + 2 + 1 + 3 = 10 \implies x_A = 4

Knjigu B je pročitalo 13 učenika:

x_B + x_{AB} + x_{BC} + x_{ABC} = 13

Zamenom poznatih vrednosti računamo $x_B$ (broj učenika koji su pročitali samo knjigu B):

x_B + 2 + 1 + 3 = 13 \implies x_B = 7

Zadato je da je samo jednu knjigu pročitalo ukupno 16 učenika:

x_A + x_B + x_C = 16

Zamenom poznatih vrednosti računamo $x_C$ (broj učenika koji su pročitali samo knjigu C):

4 + 7 + x_C = 16 \implies x_C = 5

Ukupan broj učenika u odeljenju, označen sa $N ,$ predstavlja zbir svih disjunktnih delova Venovog dijagrama:

N = x_A + x_B + x_C + x_{AB} + x_{BC} + x_{AC} + x_{ABC}

Zamenom svih izračunatih vrednosti dobijamo ukupan broj učenika:

N = 4 + 7 + 5 + 2 + 1 + 1 + 3 = 23

Napomena: Do rezultata smo mogli doći i znatno brže. Pošto je svaki učenik pročitao bar jednu knjigu, ukupan broj učenika je jednostavno zbir onih koji su pročitali tačno jednu (16), tačno dve (4) i tačno tri knjige (3):

N = 16 + 4 + 3 = 23

55.a