3149.

51.a

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: (A∪B)∖C=(A∖C)∪(B∖C). (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost dva skupa, možemo koristiti logičke ekvivalencije i definicije skupovnih operacija za proizvoljan element x. x .

Krenućemo od leve strane jednakosti. Po definiciji razlike skupova, element x x pripada skupu (A∪B)∖C (A \cup B) \setminus C ako i samo ako pripada skupu A∪B A \cup B i ne pripada skupu C. C .

x∈(A∪B)∖C  ⟺  x∈(A∪B)∧x∉Cx \in (A \cup B) \setminus C \iff x \in (A \cup B) \land x \notin C

Po definiciji unije skupova, x∈A∪B x \in A \cup B znači da x∈A x \in A ili x∈B. x \in B .

  ⟺  (x∈A∨x∈B)∧x∉C\iff (x \in A \lor x \in B) \land x \notin C

Primenjujemo zakon distributivnosti konjunkcije prema disjunkciji: (p∨q)∧r  ⟺  (p∧r)∨(q∧r). (p \lor q) \land r \iff (p \land r) \lor (q \land r) .

  ⟺  (x∈A∧x∉C)∨(x∈B∧x∉C)\iff (x \in A \land x \notin C) \lor (x \in B \land x \notin C)

Prepoznajemo definiciju razlike skupova u obe zagrade: x∈A∧x∉C x \in A \land x \notin C znači x∈A∖C, x \in A \setminus C , a x∈B∧x∉C x \in B \land x \notin C znači x∈B∖C. x \in B \setminus C .

  ⟺  x∈(A∖C)∨x∈(B∖C)\iff x \in (A \setminus C) \lor x \in (B \setminus C)

Na kraju, po definiciji unije, disjunkcija znači da element pripada uniji ova dva skupa.

  ⟺  x∈(A∖C)∪(B∖C)\iff x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)

Pošto su svi koraci ekvivalencije, dokazali smo da svaki element koji pripada levoj strani pripada i desnoj, i obrnuto, čime je jednakost dokazana.

(A∪B)∖C=(A∖C)∪(B∖C)(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)