3141. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost skupova, dokazaćemo da proizvoljan element $x$ pripada levoj strani jednakosti ako i samo ako pripada desnoj strani. Koristićemo definiciju preseka skupova: $x \in X \cap Y \iff x \in X \land x \in Y .$

Polazimo od pretpostavke da element $x$ pripada skupu na levoj strani jednakosti.

x \in A \cap (B \cap C)

Primenjujemo definiciju preseka na spoljašnji presek.

x \in A \land x \in (B \cap C)

Zatim primenjujemo definiciju preseka na unutrašnji presek (izraz u zagradi).

x \in A \land (x \in B \land x \in C)

Kako za logičku konjunkciju (operacija I, odnosno $\land$ ) važi zakon asocijativnosti, možemo pregrupisati iskaze.

(x \in A \land x \in B) \land x \in C

Sada primenjujemo definiciju preseka u obrnutom smeru na izraz u prvoj zagradi.

x \in (A \cap B) \land x \in C

Konačno, primenjujemo definiciju preseka na ceo izraz.

x \in (A \cap B) \cap C

Pošto su svi koraci u izvođenju logičke ekvivalencije, dokazali smo da važi:

x \in A \cap (B \cap C) \iff x \in (A \cap B) \cap C

Iz ovoga direktno sledi tražena jednakost skupova, čime je dokaz završen.

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

50.b