51.v

Dokaz sprovodimo pokazujući da proizvoljan element $x$ pripada levoj strani jednakosti ako i samo ako pripada desnoj strani. Polazimo od pretpostavke da element pripada levoj strani:

Primenjujemo definiciju razlike skupova ($x \in X \setminus Y \iff x \in X \land x \notin Y$):

Uslov da element ne pripada preseku skupova znači da nije tačno da pripada i jednom i drugom skupu. Zapisujemo to logičkom negacijom:

Primenjujemo De Morganov zakon za logiku na izraz u zagradi ($\neg(p \land q) \iff \neg p \lor \neg q$):

Sada primenjujemo zakon distributivnosti konjunkcije prema disjunkciji ($p \land (q \lor r) \iff (p \land q) \lor (p \land r)$):

Ponovo primenjujemo definiciju razlike skupova, ovog puta na obe zagrade pojedinačno:

Na kraju, primenjujemo definiciju unije skupova ($x \in X \lor x \in Y \iff x \in X \cup Y$):

Pošto su svi koraci u izvođenju logičke ekvivalencije, dokazali smo da element pripada levoj strani ako i samo ako pripada desnoj strani, čime je jednakost skupova dokazana: